Математическое обработки результатов измерений

Математическое обработки результатов измерений Определение статистических параметров распределения на основании построения гистограммы В обычных условиях параметры распределения определяются при помощи математической обработки ограниченного количества результатов наблюдений, называемой выборкой. Множество результатов наблюдений, из которых сделано выборку, называется генеральной совокупностью результатов наблюдений. При аттестации средств измерений выполняют ограниченное количество измерений одного и того же размера, которую также называют выборкой. Генеральной совокупностью в этом случае множество размеров, которые можно было бы получить данным измерительным средством при соблюдении условий измерения, указанных в инструкции по эксплуата ции средства измерения. Рассмотрим как строятся эмпирические кривые распределения. Пусть объем выборки составляет п , маленький размер х min , наибольший — х max . Для построения эмпирических кривых распределения необходимо разбить весь полученный диапазон на r интервалов. Число интервалов при больших выборках целесообразно брать скругленным. При больших выборках число интервалов устанавливают в зависимости от количества наблюдений за такими рекомендациями:

n r
40-100 7-9
100-500 8-12
5000-10000 10-16
Длину интервалов удобнее выбрать одинаковой. Но если распределение имеет внезапные скачки в соседних интервалах, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений предстоит выбирать узкие интервалы.
адрес ссылки

Ширина интервала должна быть удобной для графических работ относительно делений вдоль оси х. Нижняя граница первого интервала не стоит брать такой, как х min , если она не соответствует удобному положению на оси х . При обработке результатов следует предпочесть отклонением размеров, а не размерам (для уменьшения ошибок при вычислениях). Особенно большие ошибки возникают при исчислении моментов второго и высших порядков. Количество размеров m , попавших в заданный и й интервал по условию (2.71) называется частотой. В неравенства (2.71) х j является результатом j го наблюдения выборки, в которой — верхний предел и го интервала; х др — нижняя граница и го интервала, равной верхней границе го интервала. Необходимо обратить внимание на то, что сумма частот m i должно быть равно количеству n , то есть . (2.72) Отношение частоты m i к общему количеству наблюдений п называют частость и обозначают . (2.73) Частость представляет собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдения x j в j й интервал. Очевидно, что (2.74) Для наглядности эмпирический распределение подают графически в виде полигона гистограммы распределения или ступенчатой функции распределения . Полигон строится так: на оси абсцисс откладывают интервалы значений измеряемой величины, в середине каждого из интервалов отмечают ординаты, пропорциональные частот или частостей и ординаты соединяют прямыми линиями. Выбирая масштабы вдоль осей абсцисс и ординат придерживаются соотношение ≈ 5: 8, которое является самым распространенным при изображении кривых распределения. Гистограмму строят следующим образом: над каждым интервалом вдоль оси абсцисс строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна частости в этом интервале, а высота будет пропорциональна частоты при одинаковых интервалах. При различных значениях высота прямоугольника будет пропорциональна эмпирической плотности вероятностей (2.75) ступенчатую функцию распределения строят так: в середине каждого интервала взжовж оси абсцисс ордината возрастает скачком на значение, соответствующее, и оттуда проводят горизонтальную прямую до середины следующего интервала, где ордината снова растет. Высота ординаты в каждой точке соответствует эмпирической интегральной функции распределения (2.76) Значение для каждого интервала называется кумулятивной частость, а сумма — кумулятивной частотой. С помощью гистограммы распределения можно рассчитывать параметры распределения, применяя следующие формулы: для среднего арифметического (2.77) для оценки дисперсии (2.78) для оценки центрального момента третьего порядка ; (2.79) для оценки центрального момента четвертого порядка ; (2.80) Однако все расчеты можно существенно упростить, если все отклонения размеров выразить относительными величинами в судьбах (или числах) ширины интервала, а за начало отсчета отклонений принять условный ноль х 0 ; он равен середине интервала, который имеет наибольшую частоту m i . Относительные отклонения y i будут определяться как расстояние от условного нуля х 0 до середины соответствующего интервала и будут выражаться положительными или отрицательными целыми числами: 0,1,2,3,4 и т. д .: . (2.81) Относительные начальные моменты определяются теперь так: начальный момент первого порядка ; (2.82) начальный момент второго порядка ; (2.83) начальный момент третьего порядка ; (2.84) начальный момент четвертого порядка . (2.85) Возвращаясь к размерности измеряемой величины, получим параметры распределения ; (2.86) ; (2.87) ; (2.88) . (2.89) Результаты расчетов относительных начальных моментов удобно свести в таблицу. Определение геометрической функции плотности распределения Вид функции теоретического распределения выбирают, исходя из предсказаний о физической природе рассеяния результатов измерений. При этом следует учитывать не только общие рассуждения о законе распределения, так и вид графических изображений эмпирического распределения — полигона и гистограммы. Зная форму кривой плотности теоретического распределения и сравнивая ее с гистограммой, принимают предварительное заключение о возможности использования конкретного вида теоретического распределения.